O que é uma Álgebra W?

É uma álgebra associativa que generaliza a Álgebra de Virasoro, utilizada principalmente na teoria de campos conformes e na teoria de representações para descrever simetrias estendidas.

Qual a relação entre a Álgebra W e a Álgebra de Virasoro?

A Álgebra de Virasoro é um subconjunto da Álgebra W, especificamente a parte gerada pelo tensor de energia-momento $T(z)$, que corresponde ao gerador de dimensão 2.

Quem introduziu as Álgebras W?

As Álgebras W foram introduzidas pelo físico Alexander Zamolodchikov.

O que significa dizer que uma Álgebra W é 'gerada livremente'?

Significa que os geradores da álgebra não possuem relações adicionais entre si, além das relações de comutação fundamentais.

Álgebras W: Extensões da Álgebra de Virasoro

Na teoria de campos conformes (CFT) e na teoria de representações, uma Álgebra W é uma álgebra associativa que generaliza a Álgebra de Virasoro. Estas estruturas foram introduzidas por Alexander Zamolodchikov, recebendo este nome devido ao uso da letra W para designar um dos elementos em seus exemplos iniciais.

Definição e Estrutura

Uma Álgebra W é definida como uma álgebra associativa gerada pelos modos de um número finito de campos meromórficos $W^{(h)}(z)$, incluindo o tensor de energia-momento $T(z) = W^{(2)}(z)$. Para valores de $h \neq 2$, o campo $W^{(h)}(z)$ é considerado um campo primário com dimensão conformal $h \in \frac{1}{2}\mathbb{N}^$.

Representação matemática do campo meromórfico W(h)(z) — Representação formal do campo meromórfico $W^{(h)}(z)$ que atua como gerador da álgebra.

Os geradores da álgebra, denotados por $(W_{n}^{(h)})_{n \in \mathbb{Z}}$, relacionam-se aos campos meromórficos através de expansões de modo, conforme ilustrado abaixo:

Fórmula de expansão de modo para W(h)(z) — A expansão de modo define a relação entre o campo e seus geradores discretos.

As relações de comutação de $L_n = W_n^{(2)}$ são regidas pela Álgebra de Virasoro, parametrizada por uma carga central $c \in \mathbb{C}$, valor que também define a carga central da própria Álgebra W. A suposição de que $W^{(h)}(z)$ seja um campo primário de dimensão $h$ é equivalente às seguintes relações de comutação:

Relação de comutação entre L_m e W_n(h) — Equação que define a interação entre os geradores de Virasoro e os geradores de dimensão h.

As demais relações de comutação podem, em princípio, ser determinadas através da resolução das identidades de Jacobi. Dependendo do conjunto de dimensões conformes $H$, o número de Álgebras W resultantes pode ser zero, um ou múltiplos, existindo para todos os valores de $c \in \mathbb{C}$ ou apenas para valores específicos.

Álgebras Geradas Livremente

Uma Álgebra W é denominada gerada livremente se seus geradores não obedecerem a nenhuma outra relação além das relações de comutação. As Álgebras $W(N)$, amplamente estudadas, enquadram-se nesta categoria.

Métodos de Construção

Embora seja possível construir Álgebras W assumindo a existência de campos meromórficos e resolvendo identidades de Jacobi, existem métodos sistemáticos para a criação de famílias destas álgebras.

Redução de Drinfeld-Sokolov

A partir de uma álgebra de Lie finita-dimensional $\mathfrak{g}$, juntamente com uma imersão $\mathfrak{sl}_2 \hookrightarrow \mathfrak{g}$, pode-se construir uma Álgebra W a partir da álgebra envolvente universal da álgebra de Lie afim $\hat{\mathfrak{g}}$ utilizando uma construção do tipo BRST (Becchi-Rouet-Stora-Tyutin). Neste caso, a carga central da Álgebra W torna-se uma função do nível da álgebra de Lie afim.

Símbolo da álgebra de Lie g — A álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ serve como base para a redução de Drinfeld-Sokolov.

Construção de Cosset

Dada uma álgebra de Lie finita-dimensional $\mathfrak{g}$ e uma subálgebra $\mathfrak{h} \hookrightarrow \mathfrak{g}$, a Álgebra W, denotada por $W(\hat{\mathfrak{g}}/\hat{\mathfrak{h}})$, pode ser construída a partir das álgebras de Lie afins correspondentes $\hat{\mathfrak{h}} \hookrightarrow \hat{\mathfrak{g}}$. Os campos que geram $W(\hat{\mathfrak{g}}/\hat{\mathfrak{h}})$ são polinômios nas correntes de $\hat{\mathfrak{g}}$ e suas derivadas que comutam com as correntes de $\hat{\mathfrak{h}}$.