Intervalos Genéricos e Específicos na Teoria de Conjuntos Diatônicos
Pontos principais
- Intervalos genéricos medem a distância em passos de escala, enquanto intervalos específicos medem a distância em semitons.
- O maior intervalo genérico é sempre o número de notas da escala menos um.
- A Propriedade de Myhill ocorre quando cada intervalo genérico possui exatamente dois intervalos específicos correspondentes.
- As escalas diatônicas e pentatônicas exemplificam a Propriedade de Myhill.
Na teoria de conjuntos diatônicos, a distinção entre intervalos genéricos e específicos é fundamental para a análise da estrutura de escalas e coleções de notas. Esses conceitos permitem que musicólogos e teóricos compreendam a relação entre a posição de uma nota em uma escala e a distância acústica real entre as frequências.
Intervalos Genéricos
Um intervalo genérico é definido como o número de graus ou passos de escala entre duas notas de uma coleção ou escala específica. Ele ignora a qualidade do intervalo (se é maior, menor, justo, etc.) e foca apenas na distância numérica dentro da estrutura da escala.
O maior intervalo genérico possível em qualquer escala é sempre igual ao número de membros da escala menos um. Por exemplo, em uma escala de sete notas (como a escala diatônica), o maior intervalo genérico é 6 (7 - 1 = 6).
- Segundas: Intervalo genérico 1
- Terças: Intervalo genérico 2
- Quartas: Intervalo genérico 3
- Quintas: Intervalo genérico 4
- Sextas: Intervalo genérico 5
- Sétimas: Intervalo genérico 6
Intervalos Específicos
Um intervalo específico refere-se à distância exata medida em semitons entre duas classes de altura no círculo cromático. Enquanto o intervalo genérico descreve a posição na escala, o intervalo específico descreve a distância física ou acústica real.
Em um sistema de temperamento igual a doze tons, a distância máxima entre duas notas é de 11 semitons. O intervalo específico é a medida real da distância entre as notas, independentemente de a qual escala elas pertençam.
A Propriedade de Myhill
A Propriedade de Myhill é uma característica de escalas ou coleções musicais onde, para cada intervalo genérico, existem exatamente dois intervalos específicos correspondentes. Isso significa que qualquer distância de passos de escala (como uma "terça") pode ser realizada por apenas duas distâncias diferentes de semitons (como uma "terça maior" e uma "terça menor").
Escalas que possuem a Propriedade de Myhill também apresentam as seguintes características técnicas:
- Cardinalidade igual à variedade: O número de notas na escala é igual ao número de intervalos específicos distintos entre notas adjacentes.
- Estrutura que implica multiplicidade: A organização da escala define a frequência com que cada intervalo ocorre.
- Coleção gerada bem formada: A escala pode ser construída a partir de um intervalo gerador constante.
As coleções diatônicas e pentatônicas são exemplos clássicos de escalas que possuem a Propriedade de Myhill. Este conceito foi descrito inicialmente por John Clough e Gerald Myerson, sendo nomeado em homenagem ao matemático John Myhill.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre intervalo genérico e específico?
O intervalo genérico refere-se ao número de graus da escala (ex: uma terça), enquanto o intervalo específico é a distância exata em semitons (ex: 3 ou 4 semitons).
O que é a Propriedade de Myhill?
É a característica de escalas onde cada intervalo genérico (como a segunda) pode ser manifestado por apenas dois tipos de intervalos específicos (como a segunda maior e a segunda menor).
Quais escalas possuem a Propriedade de Myhill?
As escalas diatônicas e pentatônicas são os exemplos mais notáveis de coleções que possuem essa propriedade.