Teoria dos Conjuntos Musicais

A teoria dos conjuntos musicais é um sistema de análise que fornece conceitos para categorizar objetos musicais e descrever as relações entre eles. Inicialmente, Howard Hanson elaborou diversos conceitos para a análise de música tonal, mas a teoria foi posteriormente expandida por teóricos como Allen Forte para a análise de música atonal, baseando-se em parte na teoria dodecafônica de Milton Babbitt. Os princípios da teoria dos conjuntos musicais são generalistas, podendo ser aplicados a estilos tonais e atonais em qualquer sistema de afinação de temperamento igual, e, em certa medida, a contextos mais amplos.

Relação com a Matemática e a Combinatória

Embora seja frequentemente associada à teoria dos conjuntos matemática, a teoria dos conjuntos musicais apresenta diferenças significativas em termos de metodologia e terminologia. Enquanto a matemática utiliza termos como translação e reflexão, a música utiliza transposição e inversão. Além disso, o que a teoria musical define como conjuntos ordenados, a matemática geralmente classifica como tuplas ou sequências.

Do ponto de vista técnico, a teoria dos conjuntos musicais está mais intimamente ligada à teoria dos grupos e à combinatória do que à teoria dos conjuntos matemática pura (que lida, por exemplo, com a cardinalidade de conjuntos infinitos). Na combinatória, um subconjunto não ordenado de n objetos é chamado de combinação, enquanto um subconjunto ordenado é uma permutação. Portanto, a teoria dos conjuntos musicais é mais precisamente descrita como uma aplicação da combinatória à teoria musical, utilizando o vocabulário de conjuntos para descrever conjuntos finitos de notas.

Tipos de Conjuntos e Notação

O conceito fundamental desta teoria é o conjunto musical, definido como uma coleção não ordenada de classes de notas. Numericamente, um conjunto de classes de notas é representado por inteiros distintos, sem duplicatas. Esses elementos podem manifestar-se na música como acordes simultâneos, tons sucessivos em uma melodia ou a combinação de ambos.

A notação varia entre autores, mas geralmente os conjuntos são delimitados por chaves {} ou colchetes []. Sequências ordenadas podem ser denotadas por colchetes angulares ⟨ ⟩ ou parênteses. Por exemplo, o conjunto não ordenado de classes de notas 0, 1 e 2 (correspondendo a Dó, Dó# e Ré) seria notado como {0,1,2}, enquanto a sequência ordenada Dó-Dó#-Ré seria ⟨0,1,2⟩.

Classificação por Cardinalidade

Os conjuntos são nomeados de acordo com a quantidade de elementos (cardinalidade) que contêm:

• Díades: Conjuntos de dois elementos.
• Tricordes: Conjuntos de três elementos (evitando-se o termo "tríade" para não confundir com o conceito harmônico tradicional).
• Tetracordes: Conjuntos de quatro elementos.
• Pentacordes: Conjuntos de cinco elementos.
• Hexacordes: Conjuntos de seis elementos.
• Heptacordes: Conjuntos de sete elementos.
• Octacordes: Conjuntos de oito elementos.
• Nonacordes: Conjuntos de nove elementos.
• Decacordes: Conjuntos de dez elementos.
• Undecacordes: Conjuntos de onze elementos.
• Dodecacorde: Conjunto de doze elementos.

Operações Básicas

As operações fundamentais aplicadas a um conjunto são a transposição e a inversão. Conjuntos que podem ser transformados um no outro através dessas operações pertencem à mesma classe de conjunto. Como a transposição e a inversão são isometrias do espaço de classes de notas, elas preservam a estrutura intervalar do conjunto, embora não necessariamente preservem o caráter musical subjetivo dos elementos.

Outras operações incluem:

• Complementação: O complemento de um conjunto X é composto por todas as classes de notas que não estão presentes em X.
• Multiplicação: O produto de duas classes de notas é o resultado da multiplicação de seus números módulo 12.
• Relação Z: Enfatizada por Allen Forte, ocorre quando dois conjuntos compartilham o mesmo conteúdo intervalar total (vetor de intervalos), mas não são equivalentes por transposição ou inversão. Howard Hanson referiu-se a essa relação como "isomérica".

Para sequências ordenadas, as operações adicionais incluem o retrógrado (inversão da ordem dos elementos) e a rotação (permutação cíclica dos elementos).